反三角函数

反三角函数的读音

fǎn sān jiǎo hán shù

反三角函数的解释

反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割六个三角函数的统称,其中每一个都用弧或角的量来表示。

反三角函数的扩展阅读

反三角函数 - 概述

三角函数的反函数,是多值函数。它们是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x,反正割Arcsec x,反余割Arccsc x等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

反三角函数 - 相关介绍

为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

反三角函数 - 公式

基本

Secant(正割) Sec(X)=1/Cos(X) 
Cosecant(余割) Cosec(X) =1/Sin(X) 
Cotangent(余切) Cotan(X) =1/Tan(X) 
Inverse Sine(反正弦) Arcsin(X) = Atn(X / Sqr(-X * X + 1)) 
Inverse Secant(反正割)Arcsec(X)=Atn(X/Sqr(X* X-1))+Sgn((X)- 1) * (2 * Atn(1)) 
Inverse Cosecant(反余割) Arccosec(X) =Atn(X/Sqr(X*X-1))+(Sgn(X)- 1)*(2*Atn(1)) 
Inverse Cotangent(反余切) Arccotan(X)=Atn(X)+2*Atn(1)

其他公式
cos(arcsinx)=根号下1-x^2
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
当 x∈[-π/2, π/2] 有arcsin(sinx)=x
x∈[0,π], arccos(cosx)=x
x∈(-π/2, π/2), arctan(tanx)=x
x∈(0, π), arccot(cotx)=x
X>0, arctanx=π/2-arctan1/x, arccotx类似
若 (arctanx+arctany)∈(-π/2, π/2), 则 arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

反三角函数 - 数学术语

为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数,而不是f-1(x).
(1)正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
(2)余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。
(3)正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
反三角函数主要是三个:
y=arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;
y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用蓝色线条;
y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;
y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),图象用绿色线条;
sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得
cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x
tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx


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