极限

极限的读音

jíxiàn

极限的解释

(1)最高的限度:轮船的载重已经到达了~。(2)数学上的一个概念,如果变量x逐渐变化,趋近于定量α,即它们的差的绝对值可以小于任何已知的正数时,定量α叫做变量x的极限,可写成x→α,或limx=α。

极限的同义词

极限的扩展阅读

极限 - 概念
 
极限
 极限概念更精确地表述为:如果序列x1,x2,...xn,...,当n无穷大时,趋向于某个确定的数值a,则称数a为该序列的极限。记作

极限 - 历史

极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽。在牛顿的微积分中也含有极限思想。但是,直到19世纪初,人们对极限的理解还没有摆脱几何直观。只是到了1821年,法国 数学家 A.L.柯西才把极限概念建立在算术的基础上。他把极限定义为:若变量的一串数值无限地趋向某一定值时,其差可以随意地小,则该定值称为这一串数值的极限。19世纪70年代,德国的K.魏尔施特拉斯等人在数学分析的算术化过程中,进一步用"ε-N"语言更精确地把极限概念表述为:如果序列x1,x2,...xn,... 对于任意给定的无论怎样小的正数ε,总存在一个正整数 N,使得当n>N时,不等式ㄧxn-aㄧ<ε 恒成立,则称数a为该序列的极限。
极限概念体现了有限与无限的对立统一关系。序列x1x2,...xn,...是由无限多个有限值组成的,并且在收敛的条件下,存在着有限的极限值。这说明了无限包含着有限,并且在一定条件下,可以向有限转化;另一方面,有限又包含着无限,在一定条件下,可以转化为无限,并通过无限表现自身。这一点在函数f(x)的级数展开式

中得到充分体现。正是有了这一公式,我们才能研究复杂函数的变化情况,以及求无理数的近似值。例如,求自然对数的底 e的近似值,就可以利用它的级数展开式

求得。这表明极限概念具有重要的方法论意义。

极限 - 数列极限

数列的定义

一个定义在正整数集合上的函数yn=f(n)(称为整标函数),当自变量n按正整数1,2,3…依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排成一串数:f(1),f(2),f(3),…,f(n),…称为一个无穷数列,简称数列。数列中的每一个数称为数列的项,f(n)称为数列的一般项。

数列的极限

如果对于任意给定的正数c,总存在一个正整数N,当n>N时,∣yn-A∣

极限

此定义中的正数c只有任意给定,不等式

极限
才能表达出xn与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数c是有关的,它是随着c的给定而选定的。
极限 - 函数极限

函数的极值有两种情况:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0,如果在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。

a):自变量趋向无穷大时函数的极限

设函数y=f(x),若对于任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式

极限
的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式
极限
那么常数A就叫做函数y=f(x)当x→∞时的极限,记作:
极限

b):自变量趋向有限值时函数的极限
设函数f(x)在某点x0的某个去心邻域内有定义,且存在数A,如果对任意给定的ε(不论其多么小),总存在正数δ,当0<

极限
<δ时,
极限
<ε则称函数f(x)当x→x0时存在极限,且极限为A,记:
极限


极限 - 变量极限

如果对于任意给定的正数C在变量Y变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,

极限
恒成立,则称变量y变化过程中以常数A极限,记作
极限

如果在某一变化过程中,变量Y有极限,则变量Y是(局部)有界变量。

极限

 

极限 - 无穷大量

已知函数

极限
,当x→0时,可知
极限
,我们把这种情况称为
极限
趋向无穷大。为此我们可定义如下:
   设有函数y=
极限
,在x=x0的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数N(一个任意大的数),总可找到正数δ,当
极限
时,
极限
成立,则称函数当
极限
时为无穷大量。记为:
极限
(表示为无穷大量,实际它是没有极限的)。
极限 - 无穷小量

以零为极限的变量称为无穷小量。

定义:设有函数

极限
对于任意给定的正数C不论它多么小),总存在正数N(或正数M),使得对于适合不等式
极限
极限
的一切x,所对应的函数值满足不等式
极限
,则称函数
极限
极限
(或x→∞)时 为无穷小量。记作:
极限
极限

无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是:前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于0。
无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的。

极限 - 参考资料

《微积分》

《经济应用数学》

《高等数学查阅手册》



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